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彩立方专注微分方程研究 推动基础数学发展
发表时间 2018-02-28 16:10 来源 彩立方

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  ——记华侨大学夏永辉教授

  编者按:人类的智慧,主要体现在数学上。数学是一门庞大的科学体系,包含各种各样的专题和主题,大多与实际的很多问题有相关性,而且研究的大多是基础问题。透过数学,我们可以发现自然界中的很多规律。同时很多规律也会由数学表达出来。因此数学其实也是一种通用的语言,可以让我们用极其简洁的方式来表达自然中的规律。基础数学则是科学大厦的基础,其研究成果将对以后的科技进步产生巨大作用。

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  华侨大学夏永辉教授长期从事常微分方程和动力系统的研究工作,其研究兴趣包括微分方程的线性化理论、微分方程的周期解和稳定性、概周期微分方程、四元数值微分方程等。在该学科方向的重要SCI期刊J. Differential Equations、SIAM J. Appl. Math.、Proc. Edinburgh Math. Soc.等发表论文50余篇。

  一、高维系统的可积问题

  推广了著名数学家庞加莱和李雅普诺夫关于二维平面系统可积的充要条件的经典理论,将此可积理论推广到了任意有限维。关于解析的微分系统的经典理论可以追溯到著名数学家庞加莱和李雅普诺夫的经典成果。

  一个实平面解析微分系统的非退化的奇点是一个中心当且仅当这个系统局部解析地等价于系统其中并且y是x的共轭复数。庞加莱还证明了在实平面解析微分系统中存在一个解析函数或正规级数Φ(u,v)使得这里为系数的多项式。

  然而要把庞加莱和李雅普诺夫平面系统的可积结果推广到高维系统有很大的难度,因为随着维数的增加,首次积分的计算难度大大增加。夏永辉教授及其合作者Romanovski和张祥教授一起推广庞加莱和李雅普诺夫关于二维平面系统可积的充要条件的经典理论,将此可积理论推广到了任意有限维。作为应用,研究了四维哈密顿系统的可积问题,完整地讨论了所有可能的可积系统分类,并得到这些系统存在3个独立首次积分(包括哈密顿量)的充要条件。

  夏永辉教授指出,如果 χ 是系统的一个向量场,那么下列结论成立:

  (a)存在序列 ψ(x) 使得其中,Pα是以 χ 为系数的多项式;

  (b)如果向量场 χ 含有 n-1 个无关的解析的首次积分,那么对于任意的满足 (a) 中等式的 ψ,可以得到对于所有的 , Pα=0 都成立;

  (c)假设 的秩是 k,并且有 k 个无关的函数 ψ(1) ,…,ψ(k),那么对于所有的 , i=1,2,…, k,(a) 中等式的相关系数都满足 。特别地,当 k=n-1 时,结论 (b) 和 (c) 就为一个系统存在线性无关的解析或正规的首次积分提供了判定方法。

  二、微分方程的线性化理论

  美国数学家哈德曼和格罗布曼在20世纪60年代初各自独立证明了常微分方程拓扑线性化的经典结果,后人为纪念他们的贡献,称之为哈德曼-格罗布曼定理。在映射方面,经典的哈德曼-格罗布曼定理表明Rn空间上的C1同胚在双曲不动点附近能够被C0线性化。后来,著名数学家Pugh将上述结果推广到了Bananch空间上。Cr线性化最早可追溯到1950年代Sternberg的文章。在他们的研究基础上,夏永辉教授通过十余年的研究,取得了推动该领域发展的重要成果。

  (1)研究了测度链上微分方程的线性化,采用新的方法改进了德国数学家Hilger关于测度链上Hartman-Grobman的线性化结果,解决了Hilger未能解决的拓扑等价函数的周期性问题,并且证明了周期系统的拓扑等价函数也是周期的。

  (2)证明了Fenner和Pinto未能解决的关于脉冲微分方程线性化等价函数的Holder连续性问题,并且改进了Fenner和Pinto的线性化定理,较大程度上减弱了原文要求整个线性部分具有指数二分性的条件。

  (3)指出并修正了Palmer JMAA1973和Potzsche JDE2008中关于拓扑等价的概念的不足,并探讨了新定义下的非自治Hartman-Grobman线性化定理,并且将该定理推广到时标情况。

  三、四元数值微分方程

  虽然四元数值微分方程在飞行力学、流体力学、量子力学、微分几何和刚体、多刚体动力学等学科中具有非常广泛的应用,但是目前为止,绝大部分的工作是物理学家利用四元数值微分方程来刻画在飞行力学、流体力学及量子力学中产生的动力学,然而物理学家并没有对四元数值微分方程的解等数学性质做深刻的研究。所以,要想真正了解四元数值微分方程的动力学性质,就必须从数学上严格解决解的结构甚至精确解。因此,夏永辉教授较为系统地建立了线性四元数值微分方程组的基本框架,证明了四元数微分方程的刘维尔公式,同时指出了四元数值微分方程与常微分方程的几个较大的差异性。

  第一,常微分方程组的解空间是一个线性空间,而四元数值微分方程组的解空间不是一个线性空间,而是一个自由模。

  第二,常微分方程下的Wronskian行列式已经不适用于四元数值微分方程。在常微分方程下,线性相关的解组所组成的Wronskian行列式等于0,而这个在四元数值微分方程下已经不成立,从而Wronskian行列式需要重新定义。

  第三,由于四元数关于乘法的不可交换性,四元数值微分方程的特征值和特征向量需要分左右,而且特征值可能有无穷个。

  夏永辉教授研究了线性四元数值微分方程组的通解结构及其基本解矩阵的构造,同时建立了非齐次线性四元数值微分方程的常数变易公式,并且研究了四元数微分方程的线性化。

  四、不连续系统的极限环与分支(与陈和柏教授、韩茂安教授、肖冬梅教授合作):

  (a) 改进了张芷芬先生关于广义Lineard系统的一个经典定理,而且将她的结果推广到不连续系统。

  (b) 完整解决了Fitz Hugh-Nagumo nerve system (McKean,Adv. Math., 1970,Rinzel, JMB, 1978 ) 的定性行为。把所有的极限环及其分布全部完整彻底地讨论清楚。甚至在不连续系统发现了八字环和cuspidal loop这样令人感兴趣的东西。特别是我们完整给出了分支曲线的表达式和图形。

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  专家简介

  夏永辉,1978年生,闽江学者特聘教授。2014、2015、2016、2017年连续四年入选“中国高被引学者名单”。2017年获“福建青年科技奖”;2017年获浙江省自然科学三等奖。获得2009年度福建省科学技术奖三等奖;获得2011年度浙江省科学技术奖一等奖。2012年入选浙江省“新世纪151人才工程”第二层次;2013年获“浙江省优秀科技工作者”荣誉称号。入选泉州市“海纳百川”高端人才聚集计划、泉州市引进高层次创业创新人才。2012年7月获斯洛文尼亚政府全额奖学金,在斯洛文尼亚Maribor大学应用数学与理论物理研究中心做研究员(Research Fellow)一年。近年来主持国家自然科学基金3项(面上项目2项,青年项目1项),获得欧盟研究基金项目资助(MSCA-IF-2014-EF:Marie Curie Individual Fellowship居里夫人奖学金)1项。